Question

【題目】某公園有一塊邊長為3百米的正三角形空地，擬將它分割成面積相等的三個區域，用來種植三種花卉.方案是：先建造一條直道將分成面積之比為的兩部分（點D，E分別在邊，上）；再取的中點M，建造直道（如圖）.設，，（單位：百米）.

（1）分別求，關于x的函數關系式；

（2）試確定點D的位置，使兩條直道的長度之和最小，并求出最小值.

Answer 1

【答案】（1），.，.

（2）當百米時，兩條直道的長度之和取得最小值百米.

【解析】

（1）由，可解得.方法一：再在中，利用余弦定理，可得關于x的函數關系式；在和中，利用余弦定理，可得關于x的函數關系式.方法二：在中，可得，則有，化簡整理即得；同理，化簡整理即得.（2）由（1）和基本不等式，計算即得.

解：（1），是邊長為3的等邊三角形，又，

，.

由，得.

法1：在中，由余弦定理，得

.

故直道長度關于x的函數關系式為，.

在和中，由余弦定理，得

①

②

因為M為的中點，所以.

由①②，得，

所以，所以.

所以，直道長度關于x的函數關系式為

，.

法2：因為在中，，

所以.

所以，直道長度關于x的函數關系式為，.

在中，因為M為的中點，所以.

所以.

所以，直道長度關于x的函數關系式為，.

（2）由（1）得，兩條直道的長度之和為

（當且僅當即時取“”）.

故當百米時，兩條直道的長度之和取得最小值百米.