【題目】某地區高考實行新方案，規定：語文、數學和英語是學生的必考科目，學生還須從物理、化學、生物、歷史、地理和政治六個科目中選取三個科目作為選考科目.若一個學生從六個科目中選出了三個科目作為選考科目，則稱該學生確定選考方案，否則稱該學生待確定選考方案.例如學生甲選擇“物理、化學和生物”三個選考科目，則稱學生甲確定選考方案.某校為了解高一年級
名學生選考科目的意向，隨機選取
名學生進行了一次調查，統計情況如下表：
性別 | 選考方案確定情況 | 物理 | 化學 | 生物 | 歷史 | 地理 | 政治 |
男 生 | 選考方案確定的有 |
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選考方案待確定的有 |
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女 生 | 選考方案確定的有 |
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選考方案待確定的有 |
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（1）估計該校高一年級已確定選考方案的學生有多少人？
（2）假設男生、女生選擇選考科目是相互獨立的.從確定選考方案的
名男生中隨機選出
名，從確定選考方案的
名女生中隨機選出名，試求該男生和該女生的選考方案中都含有歷史科目的概率；
（3）從確定選考方案的8名男生中隨機選出2名，設隨機變量
表示
名男生選考方案相同，
表示名男生選考方案不同，求
的分布列及數學期望.
【答案】（1）270人；（2）
；（3）分布列見解析；期望為
.
【解析】
（1）計算樣本的頻率，利用樣本估計總體即可；
（2）根據獨立事件同時發生的概率公式計算即可；
（3）根據古典概型計算離散型隨機變量的概率，列出分布列，求期望即可.
（1）由題意可知，選考方案確定的男學生有
人，選考方案確定的女學生有
人，
該校高一年級已確定選考方案的學生有
人.
（2）由數據可知，選考方案確定的8位男學生中選出1人選考方案中含有歷史的概率為
，
選考方案確定的10位女學生中選出1人選考方案中含有歷史的概率為
.
所以該男學生和該女學生的選考方案中都含有歷史的概率為
.
（3）由題意知
的所有可能取值為
.
所以的分布列為：
的數學期望
津橋教育計算小狀元系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在平面直角坐標系
中，曲線
的參數方程為
(
為參數).以坐標原點
為極點，
軸正半軸為極軸建立極坐標系，直線
的極坐標方程為
.
（Ⅰ）求直線的直角坐標方程與曲線的普通方程；
（Ⅱ）已知點
設直線與曲線相交于
兩點，求
的值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖1，在等腰梯形
中，
，
，
，
為
的中點.現分別沿
，
將
和
折起，點
折至點
，點
折至點
，使得平面
平面
，平面
平面，連接
，如圖2.
（Ⅰ）若平面內的動點
滿足
平面
，作出點的軌跡并證明；
（Ⅱ）求平面
與平面所成銳二面角的余弦值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】為推動實施健康中國戰略，樹立國家大衛生、大健康概念，手機APP也推出了多款健康運動軟件，如“微信運動”，楊老師的微信朋友圈內有
位好友參與了“微信運動”，他隨機選取了
位微信好友（女
人，男人），統計其在某一天的走路步數，其中，女性好友的走路步數數據記錄如下：
5860 | 8520 | 7326 | 6798 | 7325 | 8430 | 3216 | 7453 | 11754 | 9860 |
8753 | 6450 | 7290 | 4850 | 10223 | 9763 | 7988 | 9176 | 6421 | 5980 |
男性好友走路的步數情況可分為五個類別：
步（說明“
”表示大于等于
，小于等于
，下同），
步，
步，
步及以上，且
三種類別人數比例為
，將統計結果繪制如圖所示的條形圖，若某人一天的走路步數超過
步被系統認定為“衛健型”，否則被系統認定為“進步型”.
（1）若以楊老師選取的好友當天行走步數的頻率分布來估計所有微信好友每日走路步數的概率分布，請估計楊老師的微信好友圈里參與“微信運動”的名好友中，每天走路步數在
步的人數；
（2）請根據選取的樣本數據完成下面的
列聯表并據此判斷能否有
以上的把握認定“認定類型”與“性別”有關？
衛健型 | 進步型 | 總計 | |
男 | 20 | ||
女 | 20 | ||
總計 | 40 |
附：
，
| 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 |
| 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 |
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】[選修4—4：坐標系與參數方程]
在平面直角坐標系
中，曲線
的參數方程為
（
為參數，
），以坐標原點
為極點，
軸的非負半軸為極軸，建立極坐標系，直線
的極坐標方程為
.
（1）設
是曲線上的一個動瞇，當
時，求點到直線的距離的最小值；
（2）若曲線上所有的點都在直線的右下方，求實數
的取值范圍.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】盒中有6個小球,3個白球,記為
個紅球, 記為
個黑球, 記為
，除了顏色和編號外，球沒有任何區別.
(1) 求從盒中取一球是紅球的概率；
(2)從盒中取一球，記下顏色后放回，再取一球，記下顏色，若取白球得1分，取紅球得2分，取黑球得3分，求兩次取球得分之和為5分的概率
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】2022年北京冬奧運動會即第24屆冬季奧林匹克運動會將在2022年2月4日至2月20日在北京和張家口舉行，某研究機構為了了解大學生對冰壺運動的興趣，隨機從某大學生中抽取了100人進行調查，經統計男生與女生的人數比為
，男生中有20人表示對冰壺運動有興趣，女生中有15人對冰壺運動沒有興趣.
（1）完成
列聯表，并判斷能否有
把握認為“對冰壺運動是否有興趣與性別有關”？
有興趣 | 沒有興趣 | 合計 | |
男 | 20 | ||
女 | 15 | ||
合計 | 100 |
（2）用分層抽樣的方法從樣本中對冰壺運動有興趣的學生中抽取6人，求抽取的男生和女生分別為多少人？若從這6人中選取兩人作為冰壺運動的宣傳員，求選取的2人中恰好有1位男生和1位女生的概率.
附：
，其中
| 0.150 | 0.100 | 0.050 | 0.025 | 0.010 |
| 2.072 | 2.076 | 3.841 | 5.024 | 6.635 |
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