Question

（本小題滿分12分）
已知數列{an}的各項均為正數，Sn為其前n項和；且Sn =" 2" an -2（n∈N*）；
（1）求數列{an}的通項公式；
（2）設數列{bn}的前n項和為Tn，且bn= （n∈N*）；
求證：對于任意的正整數n，總有Tn ＜2；
（3）在正數數列{cn}中，設 (cn) n+1 = an+1（n∈N*）；求數列{cn}中的最大項。

Answer 1

（1）因為Sn=2an-2（n∈N*），所以Sn-1=2an-1-2（n≥2，n∈N*）。
二式相減得：an="2" an-2an-1（n≥2，n∈N*），
因為an≠0，所以=2（n≥2，n∈N*），
即數列{ an}是等比數列，
又因為a1=S1，所以a1="2" a1-2，即a1=2，所以an=2n（n∈N*）（4分）
（2）證明：對于任意的正整數n，總有bn==，
所以當n≥2時，Tn=++……+≤1+++……+=1+1-+-+……+-=2-＜2；
當n=1時，T1=1＜2仍成立；
所以，對于任意的正整數n，總有Tn ＜2。（8分）
（3）解：由(cn)n+1=an+1=n+1（n∈N*）
知：lncn=。令f（x）=，
則f′（x）=，因為在區間（0，e）上，f′（x）＞0，在區間（e，+∞）上，f′（x）＜0，
所以在區間（e，+∞）上f（x）為單調遞減函數，所以n≥3且n∈N*時，{lncn}是遞減數列，
又lnc1＜ lnc2  lnc3＜ lnc2，
所以，數列{lncn}中的最大項為lnc2=ln3，所以{cn}中的最大項為c2=。（12分）

解析