Question

【題目】已知項數(shù)為的數(shù)列滿足如下條件：①；②．若數(shù)列滿足，其中則稱為的“心靈契合數(shù)列”．

（I）數(shù)列1，5，9，11，15是否存在“心靈契合數(shù)列”若存在，寫出其心靈契合數(shù)列，若不存在請說明理由；

（II）若為的“心靈契合數(shù)列”，判斷數(shù)列的單調(diào)性，并予以證明；

（Ⅲ）已知數(shù)列存在“心靈契合數(shù)列”，且，，求m的最大值．

Answer 1

【答案】（I）不存在，理由見解析；（II）單調(diào)遞減，證明見解析； （Ⅲ）33

【解析】

（I）求出、、、后，根據(jù)“心靈契合數(shù)列”的定義判定即可；

（II）由“心靈契合數(shù)列”的定義，結(jié)合數(shù)列單調(diào)性討論的符號即可得解；

（Ⅲ）根據(jù)數(shù)列及其“心靈契合數(shù)列”中項的特征，結(jié)合單調(diào)性分析出，即可得解.

（I）數(shù)列1，5，9，11，15不存在“心靈契合數(shù)列”

因為，

，，

，，

所以數(shù)列1，5，9，11，15不存在“心靈契合數(shù)列”

（Ⅱ）數(shù)列為單調(diào)遞減數(shù)列．

因為，，，

又因為，所以有，

所以，

即成立

所以數(shù)列為單調(diào)遞減數(shù)列．

（Ⅲ），都有，

因為，．

所以，

所以，

所以

因為，

所以，

又

，

則，即，，所以．

例如：，

此時，，

且為單調(diào)遞減數(shù)列，故滿足題意．

所以m的最大值是33．