Question

【題目】己知函數在處的切線方程為，函數．

（1）求函數的解析式；

（2）求函數的極值；

（3）設（表示p，q中的最小值），若在上恰有三個零點，求實數k的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）（2）見解析（3）

【解析】

（1）求出，然后利用和建立方程組求解即可

（2）求出，然后分和兩種情況討論即可

（3）由于僅有一個零點1，且恒成立，條件可轉化為在上有且僅有兩個不等于1的零點，然后分、、、四種情況討論.

（1），

因為在處的切線方程為，

所以，解得，

所以．

（2）的定義域為，，

①若時，則在上恒成立，

所以在上單調遞增，無極值．

②若時，則當時，，在上單調遞減；

當時，，在上單調遞增；

所以當時，有極小值，無極大值．

（3）因為僅有一個零點1，且恒成立，

所以在上有且僅有兩個不等于1的零點．

①當時，由（2）知，在上單調遞增，

在上至多一個零點，不合題意，舍去，

②當時，，在無零點，

③當時，，當且僅當等號成立，在僅一個零點，

④當時，，，所以，

又圖象不間斷，在上單調遞減，

故存在，使，

又，

下面證明，當時，，，

在上單調遞增，

所以，，

又圖象在上不間斷，在上單調遞增，

故存在，使，

綜上可知，滿足題意的k的范圍是．