Question

定義在R上的函數f（x）滿足f（4）=1，f′（x）為f（x）的導函數，已知y=f′（x）的圖象如圖所示，若兩個正數a，b滿足f(2a+b)＜1，則

b+1

a+1

的取值范圍是（　　）

• A、(

  1

  5

  ，

  1

  3

  )
• B、(-∞，

  1

  3

  )∪(5，+∞)
• C、(

  1

  3

  ，5)
• D、（-∞，3）

Answer 1

分析：先根據導函數的圖象判斷原函數的單調性，從而確定a、b的范圍得到答案．

解答：解：由圖可知，當x＞0時，導函數f'（x）＞0，原函數單調遞增
∵兩正數a，b滿足f（2a+b）＜1，
∴0＜2a+b＜4，∴b＜4-2a，0＜a＜2，畫出可行域如圖．
k=

b+1

a+1

表示點Q（-1，-1）與點P（x，y）連線的斜率，
當P點在A（2，0）時，k最小，最小值為：

1

3

；
當P點在B（0，4）時，k最大，最大值為：5．
取值范圍是C．
故選C．

點評：本題主要考查函數的單調性與其導函數的正負之間的關系，即當導函數大于0時原函數單調遞增，當導函數小于0時原函數單調遞減．