Question

【題目】．對于n∈N*（n≥2），定義一個如下數陣：，其中對任意的1≤i≤n，1≤j≤n，當i能整除j時，aij＝1；當i不能整除j時，aij＝0．設．

（Ⅰ）當n＝6時，試寫出數陣A66并計算；

（Ⅱ）若[x]表示不超過x的最大整數，求證：；

（Ⅲ）若，，求證：g（n）﹣1＜f（n）＜g（n）+1．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）， ．（Ⅱ）見解析（Ⅲ）見解析

【解析】

（Ⅰ）依題意可得，， ．（Ⅱ）由題意可知，t（j）是數陣Ann的第j列的和，可得是數陣Ann所有數的和．而數陣Ann所有數的和也可以考慮按行相加．對任意的1≤i≤n，不超過n的倍數有1i，2i，…，．得數陣Ann的第i行中有個1，其余是0，即第i行的和為．從而得到結果．（Ⅲ）由[x]的定義可知，，得．進而．再考查定積分，根據曲邊梯形的面積的計算即可證得結論．

（Ⅰ）依題意可得，． ．

（Ⅱ）由題意可知，t（j）是數陣Ann的第j列的和，因此是數陣Ann所有數的和．

而數陣Ann所有數的和也可以考慮按行相加．

對任意的1≤i≤n，不超過n的倍數有1i，2i，…，．

因此數陣Ann的第i行中有個1，其余是0，即第i行的和為．

所以．

（Ⅲ）證明：由[x]的定義可知，，

所以．所以．

考查定積分，將區間[1，n]分成n﹣1等分，則的不足近似值為，的過剩近似值為． 所以．

所以g（n）．

所以g（n）﹣1g（n）+1．

所以g（n）﹣1＜f（n）＜g（n）+1．