Question

【題目】已知函數，為的導函數．

（1）證明：當時，；

（2）若是函數＝在內零點，求證：．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.

【解析】

（1）先寫出的解析式，，得到在，上，單調遞增．對求導，得，得到在，上，單調遞減，令，，求導，分析單調性，可得，進而證明．

（2）由題可知在，有根①，令，則，，可得，因為，由（1）得單調性，所以，又因為（1）可知上，單調遞減，可得又因為，化簡即可得證．

（1）證明：，

當時，，

所以在上，單調遞增．

，

在上，，單調遞減，

令，，，

，

當時，，單調遞減，

所以，

所以．

（2）證明：若是函數在內零點，

則在有根，

所以在有根，

即在有根，①

令，則，

，

又因為①式成立，所以，

因為，

由（1）可知在上，單調遞增，所以，

由（1）可知上，單調遞減，

所以

由（1）可知；

所以又因為①式成立，得，

所以．