Question

【題目】選擇適當的證明方法證明下列問題

（1）設是公比為的等比數列且，證明數列不是等比數列.

（2）設為虛數單位，為正整數，，證明：.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析.

【解析】

(1)要想證明數列不是等比數列.可以使用反證法。先假設數列是等比數列，根據數學推理，得出一個錯誤結論，從而假設不成立，本題得證。

（2）對于關于正整數的有關命題，一般可以使用數學歸納法。

（1）用反證法：設是公比為的等比數列，數列是等比數列.

①當存在，使得成立時，數列不是等比數列.

②當，使得成立時，則，

化為.

∵，，，故矛盾.

綜上兩種情況，假設不成立，故原結論成立.

（2）1°當時，左邊，右邊，

所以命題成立.

2°假設當時，命題成立，

即，

則當時，

.

所以，當時，命題也成立.

綜上所述，（為正整數）成立.