Question

【題目】如圖所示，平面平面，四邊形是邊長(zhǎng)為4的正方形，，，分別是，的中點(diǎn).

（1）求證：平面；

（2）若直線與平面所成角等于，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）

【解析】

（1）利用平行四邊形判定法則，證明CN平行ME，然后結(jié)合直線與平面平行判定，即可。（2）建立直角坐標(biāo)系，分別計(jì)算兩平面的法向量，然后結(jié)合向量數(shù)量積，即可。

（1）取線段中點(diǎn)，連結(jié)，，因?yàn)?/span>，分別是、的中點(diǎn)，所以

且，

正方形中，是的中點(diǎn).所以且，

所以且，

故四邊形為平行四邊形，

從而，

又因?yàn)?/span>平面，平面，所以平面.

（2）過(guò)作于，

因?yàn)槠矫?/span>平面，平面平面，平面，

所以平面，

又平面，從而為直線在平面內(nèi)的射影，

故為直線與平面所成角，所以.

如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以過(guò)點(diǎn)且平行于的直線、，所在的直線

為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系，

則，，，，

，，.

設(shè)，分別為平面和的法向量，

則，即，

令得，

，即，令得，

，

所以二面角的余弦值為.