Question

（13分）已知拋物線D的頂點是橢圓的中心，焦點與該橢圓的右焦點重合。
（1）求拋物線D的方程；
（2）已知動直線l過點P（4，0），交拋物線D于A，B兩點
（i）若直線l的斜率為1，求AB的長；
（ii）是否存在垂直于x軸的直線m被以AP為直徑的圓M所截得的弦長恒為定值？如果存在，求出m的方程，如果不存在，說明理由。

Answer 1

解：（1）y²=4x；（2）（i）|AB|=；
（ii）存在直線m:x=3滿足題意。

本題考查拋物線的標準方程，考查直線與拋物線的位置關系，考查弦長的計算，解題的關鍵是聯立方程，利用韋達定理求解，屬于中檔題
（1）根據拋物線D的頂點是橢圓的中心，焦點與該橢圓的右焦點重合，設出拋物線方程，即可求得拋物線D的方程；
（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．（i）直線l的方程代入拋物線方程，利用韋達定理可求|AB|；
（3） 設存在直線m：x=a滿足題意，則圓心M()，過M作直線x=a的垂線，垂足為E，設直線m與圓M的一個交點為G，可得：|EG|²=|MG|²-|ME|²=(a-3)x₁+4a-a²，由此可得結論．
解：（1）y²=4x（3分）
（i）A（x₁,y₁） B（x₂,y₂）  |AB|=（4分）
（ii）設存在直線m:x=a，滿足題意，則圓心M，過M作直線x=a的垂線，垂足為E，設直線m與圓M的一個交點為G，可得｜EG｜²=｜MG｜²-|ME|²=（a-3）x₁+4a-a²
當a=3時，弦長恒為定值2 因此存在直線m:x=3滿足題意（6分）