Question

【題目】解答
（1）若ax＞lnx恒成立，求實數a的取值范圍；
（2）證明：a＞0，x0∈R，使得當x＞x0時，ax＞lnx恒成立．

Answer 1

【答案】
（1）解：若ax＞lnx恒成立，

則a＞ ，在x＞0時恒成立，

設h（x）= ，

則h′（x）= = ，

由h′（x）＞0得1﹣lnx＞0，即lnx＜1，得0＜x＜e，

由h′（x）＜0得1﹣lnx＜0，即lnx＞1，得x＞e，

即當x=e時，函數h（x）取得極大值同時也是最大值h（e）= = ．

即a＞ ．

（2）證明：設f（x）=lnx，g（x）=ax，（x＞0），

則f′（x）= ，當g（x）與f（x）相切時，設切點為（m，lnm），

則切線斜率k= ，

則過原點且與f（x）相切的切線方程為y﹣lnm= （x﹣m）= x﹣1，

即y= x﹣1+lnm，

∵g（x）=ax，

∴ ，得m=e，a= ．

即當a＞ 時，ax＞lnx恒成立．

當a= 時，當x0≥ 時，

要使ax＞lnx恒成立．得當x＞x0時，ax＞lnx恒成立．

當0＜a＜ 時，f（x）與g（x）有兩個不同的交點，不妨設較大的根為x1，當x0≥x1時，

當x＞x0時，ax＞lnx恒成立．

∴a＞0，x0∈R，使得當x＞x0時，ax＞lnx恒成立．

【解析】（1）首先求出函數的導數，然后根據導數與單調區間的關系確定函數的單調區間，（2）先求出當直線和y=lnx相切時a的取值，然后進行討論求解即可．