Question

已知f（x）是R上的偶函數，且當x≥0時，f（x）=2^x，又a是函數g(x)=ln(x+1)-

2

x

的正零點，則f（-2），f（a），f（1.5）的大小關系是

 

．

Answer 1

分析：結合零點定理求得a與1.5和2的關系：1.5＜a＜2，然后利用求導確定函數f（x）的單調性，再有單調性使問題得到解決．

解答：解：當a＞0時，易知g（x）為增函數，而且g（2）=ln3-1＞0，g（1.5）=ln2.5-

4

3

＜lne-

4

3

＜0，
于是由零點存在定理可知在區間（1.5，2）內g（x）存在零點，
再由單調性結合題意可知a就為這個零點，因此有1.5＜a＜2．
又當x≥0時，直接求導即得f′（x）=2xln2，
于是當x＞1時，我們有f'（x）＞2ln2＞0，
由此可見f（x）在（1，+∞）上單調增，可見必有f（1.5）＜f（a）＜f（2），
而又由于f（x）為偶函數，
所以f（1.5）＜f（a）＜f（-2）．
故答案為f（1.5）＜f（a）＜f（-2）．

點評：本題考查的是函數的單調性與奇偶性的綜合類問題．關鍵是利用函數的單調性來比較大小．