Question

（本小題滿分14分） 已知點是⊙：上的任意一點，過作垂直軸于,動點滿足.
（1）求動點的軌跡方程；
（2）已知點，在動點的軌跡上是否存在兩個不重合的兩點、，使 (O是坐標原點)，若存在，求出直線的方程，若不存在，請說明理由.

Answer 1

（1）
（2）

解：（1）設，依題意，則點的坐標為   ……………1分
∴                    ………………………2分
又   ∴         ………………………4分
∵ 在⊙上，故 ∴        ………………………5分
∴ 點的軌跡方程為           ………………………6分
（2）假設橢圓上存在兩個不重合的兩點滿足
，則是線段MN的中點，且有…9分
又在橢圓上
∴    兩式相減，得……12分
∴           ∴ 直線MN的方程為
∴ 橢圓上存在點、滿足，此時直線的方程為       ………………14分