Question

【題目】設拋物線：的焦點為，直線與交于，兩點，的面積為.

（1）求的方程；

（2）若，是上的兩個動點，，試問：是否存在定點，使得？若存在，求的坐標，若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；

（2）見解析.

【解析】

（1）把代入拋物線方程可得：，解得．根據的面積為列方程，解得，問題得解．

（2）假設存在定點S，使得．設，線段的中點為．由，可得，化為：．當軸時滿足題意，因此點S必然在x軸上．設直線的方程為：．與拋物線方程聯立可得：．根據根與系數的關系、中點坐標公式可得．可得線段的垂直平分線方程，問題得解．

解：（1）把代入拋物線方程，可得：，解得．

∵的面積為．

∴，解得．

∴E的方程為：．

（2）假設存在定點S，使得．

設，線段的中點為．

由拋物線定義可得：，

∵，

∴，整理得：．∴．

當軸時滿足題意，因此點S必然在x軸上．

設直線的方程為：．

聯立，化為：．

∴，

∴．

線段的垂直平分線方程為：，

令，可得：．

∴存在定點，使得．