Question

【題目】已知函數(shù)（kR），且滿足f（﹣1）=f（1）．

（1）求k的值；

（2）若函數(shù)y=f（x）的圖象與直線沒有交點(diǎn)，求a的取值范圍；

（3）若函數(shù)，x[0，log23]，是否存在實(shí)數(shù)m使得h（x）最小值為0，若存在，求出m的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）（2）（﹣∞，0]（3）存在m=﹣1得h（x）最小值為0

【解析】

(1)化簡f（﹣1）=f（1）,即得k的值；(2)先化簡方程，再研究函數(shù)單調(diào)性，最后根據(jù)單調(diào)性求函數(shù)值域即得a的取值范圍； (3)先化簡函數(shù)h（x）=4x+m×2x，再換元轉(zhuǎn)化為二次函數(shù),最后根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)求最小值,由最小值為0解得結(jié)果.

解：（1）∵f（﹣1）=f（1），

即∴

（2）由題意知方程即方程無解，

令，則函數(shù)y=g（x）的圖象與直線y=a無交點(diǎn)

∵

任取x1、x2R，且x1＜x2，則，

∴．∴，

∴g（x）在（﹣∞，+∞）上是單調(diào)減函數(shù)．

∵，∴．

∴a的取值范圍是（﹣∞，0]．

（3）由題意h（x）=4x+m×2x，x [0，log23]，

令t=2x [1，3]，φ（t）=t2+mt，t [1，3]，

∵開口向上，對稱軸．

當(dāng)，，m=﹣1

當(dāng)，，m=0（舍去）

當(dāng)，即m＜﹣6，φ（t）min=φ（3）=9+3m=0，m=﹣3（舍去）

∴存在m=﹣1得h（x）最小值為0