Question

【題目】若函數在其定義域內有兩個不同的極值點．

（1）求實數的取值范圍；

（2）試比較與的大小，并說明理由；

（3）設的兩個極值點為，，證明：．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）證明見解析

【解析】

(1) 求函數的導數，利用在有兩個不同根，轉化為函數與函數的圖象在上有兩個不同交點，從而極大值，利用數形結合所以要想函數與函數的圖象在上有兩個不同交點，只需，可得的取值范圍；

(2)由(1)利用在上單調性質可得試比較與的大小；

(3)證明等價于證明，

令，則，等價于的最小值大于0即可.

解：（1）由已知得函數定義域為，

則在有兩個不同的根，

又，

即方程在上有兩個不同的根，

轉化為函數與函數的圖像在上有兩個不同的交點，

又，

即，，時，，

所以在上單調遞增，在上單調遞減，

從而，

又有且只有一個零點是1，且在時，，在時，，

所以要想函數與函數的圖像在上有兩個不同的交點，

只需，

即；

（2）由（1）在上單調遞增，在上單調遞減，

所以，即，

即，

即，

所以；

（3）設的兩個極值點為，由（1）可知分別是方程的兩個根，

即，

設，作差得，

，即，

要證明不等式，即等價于證明

，

令，則，

，

設，

，

則函數在上單調遞增，

，

即不等式成立，

故所證不等式成立.