【題目】已知數列
，
，…，
的項
，其中
…，
，
，其前項和為
，記除以3余數為1的數列，，…，的個數構成的數列為
，.
（1）求
的值；
（2）求數列的通項公式，并化簡.
【答案】（1）
（2）
，
【解析】
（1）根據題意這6項中包含2個1或5個1，其余均為2，這樣的數列共有
個，即可得解；
（2）這
項中包含2個1或5個1……或
個1，其余均為2，所以
，結合
除以3余數為2，0的數列
，
，…，
的個數構成的數列分別為
，
，根據規律猜想，并用數學歸納法證明.
解：（1）因為前六項的和除以3余數為1
所以這6項中包含2個1或5個1，其余均為2，
所以這樣的數列共有個，故
（2）因為，，…，和除以3余數為1，
所以這項中包含2個1或5個1……或個1，其余均為2，
所以，設除以3余數為2，0的數列，，…，的個數構成的數列分別為，
同理，
，
∵
∵
結合（1）猜想，
下面用數學歸納法證明
當
時，
，成立
假設當
時，有
，
成立，且
，
則當
時，數列共
項，分兩步看，第一步先看前
項，前項的和除以3余數為1，2，0的數列的個數分別為
，
，
，第二步看后6項，最后6項的和除以3眾數為0，2，1的數列的個數分別為22，21，21
∴
所以當時，猜想也成立
綜上，，
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】2019年12月以來，湖北武漢市發現多起病毒性肺炎病例，并迅速在全國范圍內開始傳播，專家組認為，本次病毒性肺炎病例的病原體初步判定為新型冠狀病毒，該病毒存在人與人之間的傳染，可以通過與患者的密切接觸進行傳染.我們把與患者有過密切接觸的人群稱為密切接觸者，每位密切接觸者被感染后即被稱為患者.已知每位密切接觸者在接觸一個患者后被感染的概率為
，某位患者在隔離之前，每天有
位密切接觸者，其中被感染的人數為
，假設每位密切接觸者不再接觸其他患者.
（1）求一天內被感染人數為
的概率
與、
的關系式和的數學期望；
（2）該病毒在進入人體后有14天的潛伏期，在這14天的潛伏期內患者無任何癥狀，為病毒傳播的最佳時間，設每位患者在被感染后的第二天又有位密切接觸者，從某一名患者被感染，按第1天算起，第
天新增患者的數學期望記為
.
（i）求數列
的通項公式，并證明數列為等比數列；
（ii）若戴口罩能降低每位密切接觸者患病概率，降低后的患病概率
，當
取最大值時，計算此時所對應的
值和此時對應的
值，根據計算結果說明戴口罩的必要性.（取
）
（結果保留整數，參考數據：
）
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】甲、乙、丙三人在政治、歷史、地理、物理、化學、生物、技術7門學科中任選3門．若同學甲必選物理，則下列說法正確的是（ ）
A.甲、乙、丙三人至少一人選化學與全選化學是對立事件
B.甲的不同的選法種數為15
C.已知乙同學選了物理，乙同學選技術的概率是
D.乙、丙兩名同學都選物理的概率是
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【題目】某省新高考將實行“
”模式，“3”為全國統考科目語文數學外語，所有學生必考；“1”為首選科目，考生須在物理歷史兩科中選擇一科；“2”為再選科目，考生可在化學生物思想政治地理4個科目中選擇兩科.某考生已經確定“首選科目”為物理，如果他從“再選科目”中隨機選擇兩科，則思想政治被選中的概率為（ ）
A.
B.
C.
D.
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【題目】如圖，已知
是圓柱
底面圓O的直徑，底面半徑
，圓柱的表面積為
，點
在底面圓
上，且直線
與下底面所成的角的大小為
.
(1)求
的長；
(2)求二面角
的大小的余弦值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
：
的左、右焦點分別為
，
，若橢圓經過點
，且△PF1F2的面積為2．
（1）求橢圓的標準方程；
（2）設斜率為1的直線
與以原點為圓心，半徑為
的圓交于A，B兩點，與橢圓C交于C，D兩點，且
（
），當
取得最小值時，求直線的方程.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】一年之計在于春，一日之計在于晨，春天是播種的季節，是希望的開端.某種植戶對一塊地的
個坑進行播種，每個坑播3粒種子，每粒種子發芽的概率均為
，且每粒種子是否發芽相互獨立.對每一個坑而言，如果至少有兩粒種子發芽，則不需要進行補播種，否則要補播種.
（1）當
取何值時，有3個坑要補播種的概率最大？最大概率為多少？
（2）當
時，用
表示要補播種的坑的個數，求的分布列與數學期望.
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