Question

【題目】已知函數.

（1）討論函數的單調性；

（2）當時，判斷并說明函數的零點個數.若函數所有零點均在區間內，求的最小值.

Answer 1

【答案】（1）分類討論，詳見解析；（2）存在兩個零點，且，；的最小值為.

【解析】

（1）對函數進行求導，根據的不同取值進行分類討論，根據導函數的正負性，求出函數的單調性即可；

（2）根據，結合的導數的性質進行分類討論求解即可.

（1）的定義域為

當時，，

所以在上單調遞增:

當時，

所以在上單調遞增:

當時，令，

得，（舍）

當時，，

當時，

所以在上單調遞增，

在上單調遞減.

綜上所述，當時，在上單調遞增:

當時，在上單調遞增，

在上單調遞減.

（2）當時，，

當時，單調遞增，

，

則，故不存在零點:

當時，，

在上單調遞減，

所以

所以，單調遞增，

又

所以存在唯一，使得

當時，，，

所以單調遞減，

，

所以，存在使得

當時，單調遞增；

當時，單調遞減， .

又，

因此，在上恒成立，

故不存在零點.

當時，，

所以單調遞減，

因為，

所以單調遞減，

又，

所以存在唯一，使得.

當時，，

故不存在零點.

綜上，存在兩個零點，且，

因此的最小值為.