Question

（本小題共14分）

       如圖，在四面體PABC中，PC⊥AB，PA⊥BC,點D,E,F,G分別是棱AP,AC,BC,PB的中點.

       （Ⅰ）求證：DE∥平面BCP；             

       （Ⅱ）求證：四邊形DEFG為矩形；

       （Ⅲ）是否存在點Q，到四面體PABC六條棱的中點的距離相等？說明理由.

Answer 1

（共14分）

       證明：（Ⅰ）因為D，E分別為AP，AC的中點，

所以DE//PC。

又因為DE平面BCP，

所以DE//平面BCP。

（Ⅱ）因為D，E，F，G分別為

AP，AC，BC，PB的中點，

所以DE//PC//FG，DG//AB//EF。

所以四邊形DEFG為平行四邊形，

又因為PC⊥AB，

所以DE⊥DG，

所以四邊形DEFG為矩形。

（Ⅲ）存在點Q滿足條件，理由如下：

連接DF，EG，設Q為EG的中點

由（Ⅱ）知，DF∩EG=Q，且QD=QE=QF=QG=EG.

分別取PC，AB的中點M，N，連接ME，EN，NG，MG，MN。

與（Ⅱ）同理，可證四邊形MENG為矩形，其對角線點為EG的中點Q，

且QM=QN=EG，

所以Q為滿足條件的點.