Question

【題目】已知圓經過點且與直線相切，圓心的軌跡為曲線，點為曲線上一點.

（1）求的值及曲線的方程；

（2）若為曲線上異于的兩點，且.記點到直線的距離分別為，判斷是否為定值，若是，請求出該定值；若不是，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；2.（2）是定值，定值為16.

【解析】

（1）根據已知條件，利用拋物線的定義得到曲線的軌跡，根據焦點和準線方程寫出其標準方程；（2）設的斜率,利用點斜式寫出直線的方程，與拋物線的方程聯立，根據是一個交點，利用韋達定理求得的橫坐標，進而得到,同理得到，計算可得是定值.

（1）由圓經過點且與直線相切，可知到(0,1)的距離等于到直線的距離，由拋物線的定義可得，點的軌跡為以(0,1)為焦點，以直線為準線的拋物線，所以其方程為，

將的坐標代入，得到；

（2）當的斜率為時（顯然斜率存在且不為零），的斜率為 ，對應,即,與拋物線方程聯立消去，整理得：

∵是直線與拋物線的一個交點，∴

同理

∴（定值）.