Question

已知S_n是正數數列{a_n}的前n項和，S₁²、S₂²、…、S_n²、…是以3為首項，以1為公差的等差數列；數列{b_n}為無窮等比數列，其前四項之和為120，第二項與第四項之和為90．

(Ⅰ)求a_n和b_n；

(Ⅱ)試從數列{}中挑出一些項構成一個無窮等比數列，使它的各項和等于，并指出所挑數列的首項和公比．

Answer 1

(Ⅰ)∵{}是以3為首項，1為公差的等差數列,

∴=3+(n-1)=n+2(n∈N^*).

∴S_n=,n∈N^*(∵a_n＞0)

∴當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=.

又a₁=S₁=,

∴a_n= 

設{b_n}首項為b₁,公比為q.由題意知  ∴bⁿ=3ⁿ,n∈N^* 

(Ⅱ)設可從中挑出等比數列{c_n}，首項c₁=()^p,公比為（）^k,p、k∈N^*.

它的各項和等于.則有.  ∴()^p=[1-()^k].

當p≥k時，即3^p-k(3^k-1)=8 

又∵p、k∈N^*,  ∴只有p-k=0,k=2即

p=k=2時，數列{c_n}的各項和為 

當p＜k時，=3^k-p即(3^k-1)=8·3^k-p.

∵k＞p右邊含有3的倍數，而左邊非3的倍數，不存在p、k∈N^* 

∴存在一個數列{c_n}首項為,公比為，符合合條件.