Question

【題目】如圖，在四棱錐中，側面底面，，為中點，底面是直角梯形，，，，.

（1）求證：平面；

（2）設為棱上一點，，試確定的值使得二面角為.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

（1）設的中點為，連接，證明四邊形是平行四邊形．利用直線與平面平行的判定定理證明平面．

（2）以為原點，，，所在直線為，，軸建立空間直角坐標系，

求出相關點的坐標，平面的法向量．平面的法向量，通過二面角結合數量積求解即可．

解：（1）證明：設的中點為，連接，

點，分別是的中點，

，且，

，且，

四邊形是平行四邊形．

，又平面，平面，

平面．

（2）因為側面底面，，面面，

面

面

面

又即

以為原點，，，所在直線為，，軸建立空間直角坐標系，

則， ， ， ，

令， ，，

，

平面，

即為平面的法向量．

設平面的法向量為，

則即．令，得．

若二面角為，

則，

解得，

在上，．．