Question

設函數y=f（x）在（-∞，+∞）內有定義，對于給定的正數k，定義函數f_k（x）=

f(x)，f(x)≤k k，f(x)＞k

．設函數f（x）=2+x-e^x，若對任意的x∈（-∞，+∞）恒有f_k（x）=f（x），則（　　）

A．k的最大值為2

B．k的最小值為2

C．k的最大值為1

D．k的最小值為1

Answer 1

分析：由已知條件可得k≥f（x）_max，用導數確定函數函數的單調性，求解函數的最值，進而求出k的范圍，進一步得出所要的結果．

解答：解：由題意可得出k≥f（x）_max，
由于f′（x）=1-e^x，令f′（x）=0，e^x=1=e⁰解出x=0，
當x＞0時，f′（x）＜0，f（x）單調遞增，
當x＜0時，f′（x）＞0，f（x）單調遞減．
故當x=0時，f（x）取到最大值f（0）=2-1=1．
故當k≥1時，恒有f_k（x）=f（x）
因此k的最小值為1．
故選D．

點評：本題考查學生對新定義型問題的理解和掌握程度，理解好新定義的分段函數是解決本題的關鍵，將所求解的問題轉化為求解函數的最值問題，利用了導數的工具作用，體現了恒成立問題的解題思想．