【題目】已知函數
.
（1）討論
的單調區間；
（2）當
且
，求證：
.
【答案】（1）見解析（2）證明見解析
【解析】
（1）函數
定義域為
，求出導函數，通過
，
，
判斷導函數符號，求解函數的單調區間；（2）運用分析法轉化證明，要證，只需證，法一中要證
，只需證：
，令
，求導判斷導數值符號即可；法二中只需證
，設
，
，
在
上恒成立，求出
，
的最值進行比較即可；法三中只需證：
.設
，判斷
，函數
單調遞增，
，證明即可.
（1）函數定義域為，
.
①若時，則
，在上單調遞減；
②若時，
，令
或
.
又
，
在
上單調遞減，在
上單調遞增；
③若時，
，
令
或
.
又，
在
上單調遞減，在
上單調遞增；
（2）法一：
，
，
要證，只需證
，
只需證：
，
只需證：，設，
即
，
在
上單調遞減，所以
，即原不等式成立.
法二：要證
，只需證，
，只需證，
設，，
在上恒成立，
所以在上單調遞增.
所以
，
，
所以在上單調遞增，
所以
，
所以當時，
，
即原不等式成立.
法三：，
.
要證：成立，
只需證：.
設，
，
所以在上單調遞增，
所以.
即原不等式成立.
亮點激活精編提優100分大試卷系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】隨著國內電商的不斷發展，快遞業也進入了高速發展時期，按照國務院的發展戰略布局，以及國家郵政管理總局對快遞業的宏觀調控，SF快遞收取快遞費的標準是：重量不超過1kg的包裹收費10元；重量超過1kg的包裹，在收費10元的基礎上，每超過1kg（不足1kg，按1kg計算）需再收5元.某縣SF分代辦點將最近承攬的100件包裹的重量統計如下：
重量（單位：kg） | （0，1] | （1，2] | （2，3] | （3，4] | （4，5] |
件數 | 43 | 30 | 15 | 8 | 4 |
對近60天，每天攬件數量統計如下表：
件數范圍 | 0~100 | 101~200 | 201~300 | 301~400 | 401~500 |
件數 | 50 | 150 | 250 | 350 | 450 |
天數 | 6 | 6 | 30 | 1 | 6 |
以上數據已做近似處理，將頻率視為概率.
（1）計算該代辦未來5天內不少于2天攬件數在101~300之間的概率；
（2）①估計該代辦點對每件包裹收取的快遞費的平均值；
②根據以往的經驗，該代辦點將快遞費的三分之一作為前臺工作人員的工資和公司利潤，其余的用作其他費用.目前該代辦點前臺有工作人員3人，每人每天攬件不超過150件，日工資110元.代辦點正在考慮是否將前臺工作人員裁減1人，試計算裁員前后代辦點每日利潤的數學期望，若你是決策者，是否裁減工作人員1人？
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某商場營銷人員對某商品
進行市場營銷調查，發現每回饋消費者一定的點數，該商品每天的銷量就會發生一定的變化，經過統計得到下表：
回饋點數 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
銷量（百件）/天 | 0.5 | 0.6 | 1 | 1.4 | 1.7 |
（1）經分析發現，可用線性回歸模型擬合該商品每天的銷量
（百件）與返還點數
之間的相關關系.請用最小二乘法求關于的線性回歸方程
，并預測若回饋6個點時該商品每天銷量；
（2）已知節日期間某地擬購買該商品的消費群體十分龐大，營銷調研機構對其中的200名消費者的返點數額的心理預期值進行了抽樣調查，得到如下頻數表：
返還點數預期值區間 |
|
|
|
|
|
|
頻數 | 20 | 60 | 60 | 30 | 20 | 10 |
（i）求這200位擬購買該商品的消費者對返點點數的心理預期值的樣本平均數及中位數的估計值（同一區間的預期值可用該區間的中點值代替；估計值精確到0.1）；
（ii）將對返點點數的心理預期值在
和
的消費者分別定義為“欲望緊縮型”消費者和“欲望膨脹型”消費者，現采用分層抽樣的方法從位于這兩個區間的30名消費者中隨機抽取6名，再從這6人中隨機抽取3名進行跟蹤調查，設抽出的3人中“欲望緊縮型”消費者的人數為隨機變量
，求的分布列及數學期望.
參考公式及數據：①
，
；②
.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】將函數
的圖像向右平移
個單位長度，再把橫坐標縮短到原來的
倍（縱坐標不變）得到函數
的圖像，則下列說法正確的是（ ）
A. 函數的最小正周期為
B. 函數在區間
上單調遞增
C. 函數在區間
上的最小值為
D. 
是函數的一條對稱軸
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】設數列
前n項和為
，且
其中m為實常數，
且
.
（1）求證：是等比數列；
（2）若數列的公比滿足
且
，
，求證：數列
是等差數列，并求
的通項公式；
（3）若
時，設
，求數列
的前n和
.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某學校為擔任班主任的教師辦理手機語音月卡套餐，為了解通話時長，采用隨機抽樣的方法，得到該校100位班主任每人的月平均通話時長
（單位：分鐘）的數據，其頻率分布直方圖如圖所示，將頻率視為概率.
（1）求圖中
的值；
（2）估計該校擔任班主任的教師月平均通話時長的中位數；
（3）在
，
這兩組中采用分層抽樣的方法抽取6人，再從這6人中隨機抽取2人，求抽取的2人恰在同一組的概率.
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