【題目】已知三棱錐
的展開圖如圖二，其中四邊形
為邊長等于
的正方形，
和
均為正三角形，在三棱錐中：
（1）證明：平面
平面
；
（2）若
是
的中點，求二面角
的余弦值．
【答案】（1）見解析（2）
【解析】
（1）設
的中點為
，連接
，
，由邊長關系得
，從而可得
平面
，即可證明平面
平面；
（2）由（1）問可知平面，所以以
，
，
所在直線分別為
軸，
軸，
軸建立如圖示空間直角坐標系，利用向量法求出平面
和平面
的法向量，再利用二面角的公式即可得到二面角
的余弦值。
（1）設的中點為，連接，，
由題意，得
，
，
．
因為在
中，
，為的中點，所以
，
因為在
中，，
，
，
，所以
因為
，，
平面，所以平面，
平面
，所以平面平面
（2）由（1）問可知平面，所以，
，
，于是以，，所在直線分別為軸，軸，軸建立如圖示空間直角坐標系，
則
，
，
，
，
，
，
，
，
設平面的法向量為
，則
由
得：
．令
，得
，
，即
．
設平面的法向量為
，由
得：
，令
，得
，
，即
．由圖可知，二面角的余弦值為．
綜合自測系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】現有0、1、2、3、4、5、6、7、8、9共十個數字.
（1）可以組成多少個無重復數字的三位數？
（2）組成無重復數字的三位數中，315是從小到大排列的第幾個數？
（3）可以組成多少個無重復數字的四位偶數？
（4）選出一個偶數和三個奇數，組成無重復數字的四位數，這樣的四位數共有多少個？
（5）如果一個數各個數位上的數字從左到右按由大到小的順序排列，則稱此正整數為“漸減數”， 那么由這十個數字組成的所有“漸減數”共有多少個？
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】隨著“互聯網＋交通”模式的迅猛發展，“共享助力單車”在很多城市相繼出現．某“共享助力單車”運營公司為了解某地區用戶對該公司所提供的服務的滿意度，隨機調查了100名用戶，得到用戶的滿意度評分（滿分10分），現將評分分為5組，如下表：
組別 | 一 | 二 | 三 | 四 | 五 |
滿意度評分 | [0，2） | [2，4） | [4，6） | [6，8） | [8，10] |
頻數 | 5 | 10 | a | 32 | 16 |
頻率 | 0.05 | b | 0.37 | c | 0.16 |
(1)求表格中的a，b，c的值；
(2)估計用戶的滿意度評分的平均數；
(3)若從這100名用戶中隨機抽取25人，估計滿意度評分低于6分的人數為多少？
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某家庭記錄了未使用節水龍頭50天的日用水量數據（單位：m3）和使用了節水龍頭50天的日用水量數據，得到頻數分布表如下：
未使用節水龍頭50天的日用水量頻數分布表
日用 水量 |
|
|
|
|
|
|
|
頻數 | 1 | 3 | 2 | 4 | 9 | 26 | 5 |
使用了節水龍頭50天的日用水量頻數分布表
日用 水量 |
|
|
|
|
|
|
頻數 | 1 | 5 | 13 | 10 | 16 | 5 |
（1）在答題卡上作出使用了節水龍頭50天的日用水量數據的頻率分布直方圖：
（2）估計該家庭使用節水龍頭后，日用水量小于0.35 m3的概率；
（3）估計該家庭使用節水龍頭后，一年能節省多少水？（一年按365天計算，同一組中的數據以這組數據所在區間中點的值作代表．）
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】一個工廠在某年連續10個月每月產品的總成本y（萬元）與該月產量x（萬件）之間有如下一組數據：
x | 1.08 | 1.12 | 1.19 | 1.28 | 1.36 | 1.48 | 1.59 | 1.68 | 1.80 | 1.87 |
y | 2.25 | 2.37 | 2.40 | 2.55 | 2.64 | 2.75 | 2.92 | 3.03 | 3.14 | 3.26 |
（1）通過畫散點圖，發現可用線性回歸模型擬合y與x的關系，請用相關系數加以說明；
（2）①建立月總成本y與月產量x之間的回歸方程；
②通過建立的y關于x的回歸方程，估計某月產量為1.98萬件時，此時產品的總成本為多少萬元？
（均精確到0.001）
附注：①參考數據：
，
，
②參考公式：相關系數
，
回歸方程
中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：
．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知極坐標系的極點為直角坐標系xOy的原點，極軸為x軸的正半軸，兩種坐標系中的長度單位相同，圓C的直角坐標方程為
，直線l的參數方程為
(t為參數)，射線OM的極坐標方程為
.
（1）求圓C和直線l的極坐標方程；
（2）已知射線OM與圓C的交點為O，P，與直線l的交點為Q，求線段PQ的長.
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