Question

【題目】如圖1，在等腰梯形中，，，，為的中點.現分別沿，將和折起，點折至點，點折至點，使得平面平面，平面平面，連接，如圖2.

（Ⅰ）若、分別為、的中點，求證：平面平面；

（Ⅱ）求多面體的體積.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ）.

【解析】

（1）取中點，連，由已知可得，，為正三角形，

，可得平面，平面，

平面，從而有，即可證明結論.

（2），只需求出到平面的距離，由（1）得點到平面的距離等于點到平面的距離為，即可求出結論.

（1）取中點，連，

∵、是和的中點，∴，

又∵平面，平面，

∴平面，

在圖1等腰梯形中，，，

，，，

，同理

，，為正三角形，

∴.

又∵平面平面，平面平面，

平面，∴平面，

同理可證平面，

又∵平面，平面，

∴平面，

∵，平面，平面，

∴平面平面；

（Ⅱ）連接，作于，

由（Ⅰ）得，平面，

∴點到平面的距離等于點到平面的距離，

等于點到平面的距離的，

∴，

則.