Question

【題目】已知直四棱柱的棱長(zhǎng)均相等，且BAD=60，M是側(cè)棱DD1的中點(diǎn)，N是棱C1D1上的點(diǎn)．

（1）求異面直線BD1和AM所成角的余弦值；

（2）若二面角的大小為，，試確定點(diǎn)N的位置．

Answer 1

【答案】（1）；（2）點(diǎn)與點(diǎn)重合．

【解析】

（1）取的中點(diǎn)，連結(jié)，，由直棱柱的幾何特征及平面幾何的知識(shí)可得兩兩垂直，建立空間直角坐標(biāo)系，求出、后，利用即可得解；

（2）設(shè)，求出平面的一個(gè)法向量，平面的一個(gè)法向量為，利用列方程即可得解.

的中點(diǎn)，連結(jié)，，

因?yàn)橹彼睦庵?/span>的棱長(zhǎng)均相等，所以底面是菱形，

又，所以△ABD是正三角形，

所以，因?yàn)?/span>，所以,

在直四棱柱中，平面，平面，

所以，，

分別以直線為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)直四棱柱的棱長(zhǎng)均為2，

則，，，，，，

（1）所以，,

設(shè)異面直線與所成角的大小為，則

，

所以異面直線與所成角的余弦值為；

（2）因?yàn)?/span>，．

設(shè)平面的一個(gè)法向量為，

則 即，所以

取，則；

設(shè)，則，

設(shè)平面的一個(gè)法向量為，

則 即 ，所以

取，則，

則，解得，

所以當(dāng)二面角的大小為時(shí)，點(diǎn)與點(diǎn)重合．