Question

【題目】如圖，設橢圓：的左、右焦點分別為，，上頂點為，過點作與垂直的直線交軸負半軸于點，且.

（1）若過，，三點的圓恰好與直線：相切，求橢圓的方程；

（2）在（1）的條件下，過右焦點作斜率為的直線與橢圓交于，兩點，在軸上是否存在點使得以，為鄰邊的平行四邊形是菱形？如果存在，求出的取值范圍；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在滿足的點且的取值范圍是.

【解析】

（1）設，由，，根據，求得，得出，，

又由圓與直線相切，得，求得的值，即可求得橢圓的方程；

（2）由（1），設：，聯立方程組，利用根與系數的關系求得，，再由菱形的對角線垂直，得到，列出方程，求得，即可求解．

（1）設，由，，則，，

∵，∴，.

由于，故，∴，即，

于是，.

又因為的外接圓圓心為，半徑.該圓與直線相切，

所以∴.∴，.

∴所求橢圓方程為.

（2）由（1）知，設：，

由消掉，得.

設，，則，，

，

由于菱形的對角線垂直，故，

故，即，

即：，

由已知條件知且，∴，∴，

故存在滿足的點且的取值范圍是.