Question

【題目】已知函數(shù).

（Ⅰ）若，討論函數(shù)的單調(diào)性；

（Ⅱ）若方程沒有實數(shù)解，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（I）在單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；

（II）

【解析】

（I）先對函數(shù)求導，結(jié)合導數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系即可求解函數(shù)的單調(diào)性；

（II）由沒有實數(shù)解，結(jié)合a的范圍，利用函數(shù)的單調(diào)性及函數(shù)的性質(zhì)可判斷函數(shù)的零點存在情況，即可求解．

（Ⅰ）當時，，函數(shù)的定義域為，

所以，

令，得，

又因為函數(shù)單調(diào)遞增，

所以在上，，單調(diào)遞減；

在上，，單調(diào)遞增.

（II）方程沒有實數(shù)解，

即方程沒有實數(shù)解，

設(shè)函數(shù)，

，

（i）當時，，函數(shù)沒有零點；

（ii）當時，函數(shù)單調(diào)遞減，，且，函數(shù)有零點；

（iii）當時，令，則，

當時，，單調(diào)遞減；

當時，，單調(diào)遞增；

當時，，

令，得，

即函數(shù)沒有零點，

綜上所述，若函數(shù)沒有零點，

即方程沒有實數(shù)解，

故實數(shù)的取值范圍為.