Question

【題目】設(shè)函數(shù)f（x）=+k（+lnx）（k為常數(shù)）．
（1）當(dāng)k=0時(shí)，求曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；
（2）當(dāng)k≥0時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）若函數(shù)f（x）在（0，2）內(nèi)存在兩個(gè)極值點(diǎn)，求k的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（1）當(dāng)k=0時(shí)，f（x）=，f′（x）=，
故f（1）=e，f′（1）=﹣e，
故曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為y﹣e=﹣e（x﹣1），
即切線方程為：ex+y﹣2e=0；
（2）f（x）=+k（+lnx）的定義域?yàn)椋?，+∞），
f′（x）=+k（﹣+）=（x﹣2），
∵k≥0，且x∈（0，+∞），∴＞0，
故當(dāng)x∈（0，2）時(shí)，f′（x）＜0，當(dāng)x∈（2，+∞）時(shí)，f′（x）＞0；
故函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間為（0，2），單調(diào)增區(qū)間為（2，+∞）；
（3）由（2）知，f′（x）=（x﹣2），
∵＜0在（0，2）上恒成立，
又∵函數(shù)f（x）在（0，2）內(nèi)存在兩個(gè)極值點(diǎn)，
∴h（x）=ex+kx在（0，2）內(nèi)存在兩個(gè)零點(diǎn)，
∴y=ex與y=﹣kx的圖象在（0，2）內(nèi)有兩個(gè)交點(diǎn)，
作y=ex與y=﹣kx的圖象如圖，
相切時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為（x，ex），
則=ex ，
故x=1；
故k1=e；
k2==，
故e＜﹣k＜，
故﹣＜k＜﹣e．

【解析】（1）求導(dǎo)f′（x）= ， 從而可得f（1）=e，f′（1）=﹣e，從而確定切線方程；
（2）求導(dǎo)f′（x）=（x﹣2） ， 從而判斷導(dǎo)數(shù)的正負(fù)以確定函數(shù)的單調(diào)性；
（3）求導(dǎo)f′（x）=（x﹣2） ， 從而可得h（x）=ex+kx在（0，2）內(nèi)存在兩個(gè)零點(diǎn)，從而化為y=ex與y=﹣kx的圖象在（0，2）內(nèi)有兩個(gè)交點(diǎn)，從而利用數(shù)形結(jié)合求解．
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題，首先需要了解函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)(求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數(shù)在內(nèi)的極值；（2）將函數(shù)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值，比較，其中最大的是一個(gè)最大值，最小的是最小值)．