Question

【題目】已知函數為實數)的圖像在點處的切線方程為.

（1）求實數的值及函數的單調區間；

（2）設函數，證明時， .

Answer 1

【答案】(1) ;函數的單調遞減區間為，單調遞增區間為函數的單調遞減區間為，單調遞增區間為;(2)詳見解析.

【解析】試題分析：（1）由題得，根據曲線在點處的切線方程，列出方程組，求得的值，得到的解析式，即可求解函數的單調區間；

（2）由（1）得 根據由，整理得，

設，轉化為函數的最值，即可作出證明.

試題解析：

（1）由題得，函數的定義域為， ，

因為曲線在點處的切線方程為，

所以解得.

令，得，

當時， ， 在區間內單調遞減；

當時， ， 在區間內單調遞增.

所以函數的單調遞減區間為，單調遞增區間為.

（2）由（1）得， .

由，得，即.

要證，需證，即證，

設，則要證，等價于證： .

令，則，

∴在區間內單調遞增， ,

即，故.