Question

已知二次函數(shù)f（x）=ax²+bx（a，b是常數(shù)，且a≠0），f（2）=0，且方程f（x）=x有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根．
（1）求f（x）的解析式；
（2）當(dāng)x∈[0，3]時(shí)，求函數(shù)f（x）的值域．

Answer 1

分析：（1）由f（2）=0，且f（x）=x有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，求出a、b的值，從而得f（x）的解析式；
（2）畫(huà)出f（x）的圖象，結(jié)合圖象求出f（x）在x∈[0，3]時(shí)的最值，即得值域．

解答：解：（1）∵f（2）=0，∴4a+2b=0①；
又方程f（x）=x有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，
即ax²+（b-1）x=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，
∴（b-1）²=0②；
由①②可得，a=-

1

2

，b=1，
∴f（x）=-

1

2

x²+x；
（2）由（1）知，f（x）=-

1

2

x²+x對(duì)稱(chēng)軸為=1，開(kāi)口向下，
如圖，；
由圖可知，當(dāng)∈[0，3]時(shí)，f（x）_max=f（1）=

1

2

，f（x）_min=f（3）=-

3

2

，
∴f（x）在x∈[0，3]時(shí)的值域是[-

3

2

，

1

2

]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了求函數(shù)的解析式以及利用函數(shù)的圖象與性質(zhì)求最值，從而得值域的問(wèn)題，是基礎(chǔ)題．