Question

已知函數f(x)=

1

x2+1

，令g(x)=f(

1

x

)．
（1）求函數f（x）的值域；
（2）任取定義域內的5個自變量，根據要求計算并填表；觀察表中數據間的關系，猜想一個等式并給予證明；

x						…
f(x)- 1 2						…
g(x)- 1 2						…

（3）如圖，已知f（x）在區間[0，+∞）的圖象，請據此在該坐標系中補全函數f（x）在定義域內的圖象，并在同一坐標系中作出函數g（x）的圖象．請說明你的作圖依據．

Answer 1

分析：（1）先由條件，f（x）的定義域為一切實數，故x²≥0，從而得出函數的值域；
（2）由表格內數據猜想：f(x)-

1

2

=-(g(x)-

1

2

)或f（x）+g（x）=1，從而得出函數f（x）和g（x）都是偶函數，其本身圖象關于y軸對稱．
（3）由于f(x)-

1

2

=-(g(x)-

1

2

)，所以函數f(x)-

1

2

的圖象和g(x)-

1

2

的圖象關于x軸對稱，即f（x）圖象和g（x）圖象關于直線y=

1

2

對稱．由此，可作出f（x）和g（x）在定義域內的全部圖象．

解答：解：（1）由條件，f（x）的定義域為一切實數，故x²≥0
所以，f（x）∈（0，1]．
（2）表格內數據只要滿足f(x)-

1

2

和g(x)-

1

2

互為相反數即可得分．
猜想：f(x)-

1

2

=-(g(x)-

1

2

)或f（x）+g（x）=1
證明：f(x)+f(

1

x

)=

1

x2+1

+

x2

1+x2

=1
（3）f（x）和g（x）的圖象見下圖．
因為x∈R，且f（-x）=f（x），g（-x）=g（x），所以函數f（x）和g（x）都是偶函數，其本身圖象關于y軸對稱．
（注：只作對f（x）圖象，并說明了理由的可得2分）
∵f(x)-

1

2

=-(g(x)-

1

2

)所以函數f(x)-

1

2

的圖象和g(x)-

1

2

的圖象關于x軸對稱，即f（x）圖象和g（x）圖象關于直線y=

1

2

對稱．
由此，可作出f（x）和g（x）在定義域內的全部圖象．

點評：此題考查了函數解析式的求解及常用方法，還考查了函數的值域，此題解答的關鍵是數形結合思想的運用．