Question

【題目】已知函數.

（Ⅰ）當時，求在上的最值；

（Ⅱ）若對一切，不等式恒成立，求實數a的取值范圍.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）最大值1，最小值；（Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）當時， 求得函數的導數，得到函數的單調性和最值，即可求解；

（Ⅱ）由不等式的恒成立轉化為求解函數的的最值，結合導數對分類討論求，最后結合函數的單調性和性質，即可求解.

（Ⅰ）由函數，則，

當時， 可得

令，即，解得；

令，即，解得；

所以在遞增，在遞減，所以，

又，所以，

所以在上的最大值為1，最小值為.

（Ⅱ）由函數，則，解得，

又由，

因為，則，可得，

所以，

（i）當時，，所以在遞增，

所以恒成立；

（ii）當時，

當時，單調遞增；當時，單調遞減，

所以，，，

所以，使得，

所以當時，；當是，，

所以在單調遞減，在單調遞增，

又因為，

所以，所以，即實數的取值范圍是.