Question

【題目】已知數列的前項和為，，（且），數列滿足：，且（且）.

（Ⅰ）求數列的通項公式；

（Ⅱ）求證：數列為等比數列；

（Ⅲ）求數列的前項和的最小值.

Answer 1

【答案】（1）（2）見解析（3）

【解析】試題分析：（1）由得，所以。（2） （） （）

所以（）且。所以得證。（3）

（Ⅱ）得所以 ，所以是遞增數列

和最小，即所有的負數項的和，只需求到。

試題解析：（Ⅰ）由得

即（且）

則數列為以為公差的等差數列

因此

（Ⅱ）證明：因為（）

所以（）

（）

（）

所以（）

因為

所以數列是以為首項，為公比的等比數列.

（Ⅲ）由（Ⅱ）得

所以

（）

所以是遞增數列.

因為當時，，當時，

當時，

所以數列從第3項起的各項均大于0，故數列的前2項之和最小.

記數列的前項和為，則 .