Question

【題目】圖1是由菱形，平行四邊形和矩形組成的一個平面圖形，其中，，，，將其沿，折起使得與重合，如圖2．

（1）證明：圖2中的平面平面；

（2）求圖2中點到平面的距離；

（3）求圖2中二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】(1)證明見解析 (2)1 (3)

【解析】

（1）證出、，利用線面垂直的判定定理以及面面垂直的判定定理即可證出.

（2）證出，由（1）可得平面，求出即可求出點到平面的距離.

（3）以為坐標原點，分別以、、為、、軸建立空間直角坐標系，求出平面的法向量與平面的法向量，利用向量的夾角即可求出.

（1）由題知，在中，，

所以．

又在矩形中，，且，

所以平面．

又因為平面，所以平面平面．

（2）由（1）知：平面，所以．

因為菱形中的，所以為等邊三角形，，

所以在中，，．

所以在中，，．

又因為平面平面，且平面平面，

所以平面．

又因為平面，所以點到平面的距離為．

（3）以為坐標原點，分別以、、為、、軸建立空間直角坐標系，

所以，，，．

由（1）知平面的法向量為，

設平面的法向量，因為，，

由，得，取得，．

所以，即二面角的余弦值為．