Question

【題目】已知橢圓C： 的左、右頂點分別為，，上、下頂點分別為，，四邊形的面積為，坐標原點O到直線的距離為.

（1）求橢圓C的方程；

（2）若直線l與橢圓C相交于A，B兩點，點P為橢圓C上異于A，B的一點，四邊形為平行四邊形，探究：平行四邊形的面積是否為定值？若是，求出此定值；若不是，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）四邊形的面積為定值3.

【解析】

（1）由已知設直線的方程為，再利用已知條件列方程組，求出即可得到橢圓的方程；

（2）當直線的斜率不存在時，直線的方程為，此時，當直線的斜率存在時，設：，，，

聯立，可得，利用根與系數的關系，求出弦長AB，再結合點到直線的距離公式求解三角形的面積，可推出結論.

（1）直線的方程為，

由題意可得，解得，

∴橢圓C的方程為

（2）當直線的斜率不存在時，直線的方程為，此時

當直線的斜率存在時，設：，，，

聯立，可得，

則，

，，

，

∵四邊形為平行四邊形，∴，∴，

∵點P在橢圓上，∴，整理得，

原點O到直線的距離，

，

綜上，四邊形的面積為定值3