Question

設函數f（x）=ax²+bx+c（a≠0），曲線y=f（x）通過點（0，2a+3），且在x=1處的切線垂直于y軸．
（Ⅰ）用a分別表示b和c；
（Ⅱ）當bc取得最大值時，寫出y=f（x）的解析式；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，g（x）滿足

4

3

f(x)-6=（x-2）g（x）（x＞2），求g（x）的最大值及相應x值．

Answer 1

分析：（1）由f（0）=2a+3，以及f'（1）=0即得結論；
（2）配方成關于a的二次函數再求最大值，從而求出a，b，c；
（3）求出g（x）的表達式，再用變量分離，將分子常數化，運用基本不等式求最大值．

解答：解：（1）由已知得f（0）=2a+3，所以c=2a+3-------2分
又因為f（x）在x=1處的切線垂直于y軸，即切線的斜率為0，因為f'（x）=2ax+b
所以f'（1）=0即2a+b=0，所以b=-2a---------4分
（2）bc=-2a（2a+3）=-2(a+

3

4

)2+

9

4

-------5分
所以當a=-

3

4

時，bc取得最大值，此時b=

3

2

，c=

3

2

∴f(x)=-

3

4

x2+

3

2

x+

3

2

---------------7分
（3）∵f(x)=-

3

4

x2+

3

2

x+

3

2

∴

4

3

f(x)-6=-x2+2x-4
又x＞2，∴g(x)=

-x2+2x-4

x-2

=-x-

4

x-2

=-(x-2)-

4

x-2

-2------------9分
∵x＞2∴x-2＞0
∴x-2+

4

x-2

≥4，∴-(x-2)-

4

x-2

≤-4
當且僅當x-2=

4

x-2

即x=4時等號成立．-----11分
∴g（x）≤-6
即g（x）的最大值為-6．

點評：本題考查了導數的基本運算和二次函數的最值以及用基本不等式求分式函數的最值，當然也可運用導數求分式函數的最值，同學可試試，比較一下繁簡．