Question

【題目】已知函數，．

（1）若，且直線是曲線的一條切線，求實數的值；

（2）若不等式對任意恒成立，求的取值范圍；

（3）若函數有兩個極值點，，且，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】(1) (2) (3)

【解析】

（1）代入a的值，根據切線方程得到關于x0的方程，求出切點坐標，解出m即可；

（2）問題轉化為alnx1＞0，記g（x）＝alnx1，通過討論a的范圍，求出函數的單調區間，從而確定a的范圍即可；

（3）法一：求出h（x2）﹣h（x1）的解析式，記m（x）＝2[（x）lnxx]，x≥1，根據函數的單調性求出a的范圍即可；

法二：由h（x）＝f（x）﹣x＝alnxx，x＞0，以及h（x）有兩個極值點x1，x2（x1＜x2），得到x1+x2＝a，x1x2＝1，設t2（t＞1），從而h（x2）﹣h（x1） 等價于 h（t）＝（t）lntt，t＞1，記m（x）＝（x）lnxx，x≥1，根據函數的單調性求出a的范圍即可．

（1）當時， ，．

設直線與曲線相切于點，

則，即，

解得，即切點為，

因為切點在上，所以，解得．

（2）不等式可化為．

記， 則對任意恒成立．

考察函數， ，．

當時， ，在上單調遞減，又，

所以，不合題意；

當時， ，；， ，

所以在上單調遞減，在上單調遞增，

若，即時，在上單調遞增，

所以時， ，符合題意；

若，即時，在上單調遞減，

所以當時， ，不符合題意；

綜上所述，實數的取值范圍為．

（3）方法一：，，．

因為有兩個極值點， ，

所以，即的兩實數根為， ， ，

所以， ， ，所以， ，

從而

．

記，．

則 (當且僅當時取等號)，

所以在上單調遞增，又，

不等式可化為，所以．

因為，且在上遞增，所以，

即的取值范圍為．

方法二：， ，．

因為有兩個極值點， ，

所以，即的兩實數根為， ， ，

所以， ， ，所以，．

設，則， ，所以， ， ，

從而等價于，．

記，．

則 (當且僅當時取等號)，

所以在上單調遞增．

又， ，所以．

因為，且在上遞增，所以，

即的取值范圍為．