Question

【題目】已知函數(shù)且.

（Ⅰ）若函數(shù)在處取得極值，求實數(shù)的值.

（Ⅱ）若函數(shù)不存在零點，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（I）；

（II）

【解析】

（Ⅰ）求函數(shù)的導數(shù)，利用函數(shù)在處取得極值，則即，再檢驗函數(shù)在時，取得極小值，可得實數(shù)a的值；

（Ⅱ）若函數(shù)不存在零點，則函數(shù)的值恒大于或小于0，分類討論a，利用函數(shù)的單調(diào)性，求得函數(shù)的最值，列出不等式，可得滿足條件的實數(shù)a的取值范圍．

解：（I）函數(shù)且，

其的定義域為R，

，

因為函數(shù)在處取得極值，

所以即，

經(jīng)檢驗，當時，取得極小值，

故；

（Ⅱ），由于，

（i）當時，恒成立，

則是增函數(shù)，

且當時，，

當時，

解得，

取，則 ，

所以函數(shù)存在零點，

（ii）當時，由=0，得，

在上，，單調(diào)遞減，

在上，，單調(diào)遞增，

所以時，取得最小值，

函數(shù)不存在零點，等價于，

即，

解得，

綜上所述：所求的實數(shù)a的取值范圍是.