Question

【題目】設fn（x）=（3n﹣1）x2﹣x（n∈N*），An={x|fn（x）＜0}
（1）定義An={x|x1＜x＜x2}的長度為x2﹣x1 ， 求An的長度；
（2）把An的長度記作數列{an}，令bn=anan+1；
1°求數列{bn}的前n項和Sn；
2°是否存在正整數m，n（1＜m＜n），使得S1 ， Sm ， Sn成等比數列？若存在，求出所有的m，n的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：由fn（x）＜0得（3n﹣1）x2﹣x＜0，∴0＜x＜ ，

∴An的長度為

（2）解：1°、an= ，bn=anan+1= = （ ﹣ ），

∴數列{bn}的前n項和Sn= [（ ﹣ ）+（ ﹣ ）+…+（ ﹣ ）]= ；

2°、由1°可知S1= ，Sm= ，Sn= ，

假設存在正整數m，n（1＜m＜n），使得S1，Sm，Sn成等比數列，

則Sm2=S1Sn，化簡得（﹣3m2+6m+2）n=5m2，

m=2時，n=10；

m≥3時，﹣3m2+6m+2＜0，5m2＞0，等式不成立，

綜上所述，存在正整數m=2，n=10，使得S1，Sm，Sn成等比數列

【解析】（1）利用新定義，即可求An的長度；（2）1°利用裂項法可求得Sn；
2°假設存在正整數m、n，且1＜m＜n，使得S1、Sm、Sn成等比數列，可求得（﹣3m2+6m+2）n=5m2 ， 由1＜m＜n，驗證可求得結論．
【考點精析】通過靈活運用二次函數的性質，掌握當時，拋物線開口向上，函數在上遞減，在上遞增；當時，拋物線開口向下，函數在上遞增，在上遞減即可以解答此題．