Question

【題目】若數列滿足：對于，都有（為常數），則稱數列是公差為的“隔項等差”數列．

（Ⅰ）若，是公差為8的“隔項等差”數列，求的前項之和；

（Ⅱ）設數列滿足：，對于，都有．

①求證：數列為“隔項等差”數列，并求其通項公式；

②設數列的前項和為，試研究：是否存在實數，使得成等比數列（）?若存在，請求出的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）① 當為偶數時，，

當為奇數時，；②

【解析】

試題（Ⅰ）由新定義知：前項之和為兩等差數列之和，一個是首項為3，公差為8的等差數列前8項和，另一個是首項為17，公差為8的等差數列前7項和，所以前項之和（Ⅱ）①根據新定義知：證明目標為，

，相減得，當為奇數時，依次構成首項為a，公差為2的等差數列,, 當為偶數時，依次構成首項為2-a，公差為2的等差數列,②先求和：當為偶數時，；當為奇數時，故當時，，，， 由，則，解得．

試題解析：（Ⅰ）易得數列

前項之和

（Ⅱ）①（）（A）

（B）

（B）（A）得（）．

所以，為公差為2的“隔項等差”數列．

當為偶數時，，

當為奇數時，；

②當為偶數時，；

當為奇數時，

．

故當時，，，，

由，則，解得．

所以存在實數，使得成等比數列（）