Question

【題目】如圖，在三棱柱中，為正三角形，平面平面，，為的中點，．

（1）求證：；

（2）求二面角的平面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】

（1）利用面面垂直的性質定理可得平面,由線面垂直的性質可得線線垂直；

（2）故以為坐標原點,分別以的方向為軸建立空間直角坐標系,

分別求得平面與平面的法向量,利用空間向量求二面角的余弦值.

（1）證明:∵,為的中點,

∴,

∵平面平面,平面平面,平面,

∵平面,

∴；

（2）連接,

∵,,

∴為正三角形,

∵為的中點,

∴,

∵平面平面,平面平面,平面,

∴平面,

故以為坐標原點,分別以的方向為軸建立空間直角坐標系,如圖所示,

則,,,,,

設為平面的法向量,

則,

即,可取,則,

由（1）知為平面的法向量,

于是,

∴二面角的平面角的余弦值為