Question

【題目】已知函數(shù)，.

（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）若關(guān)于的方程有實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；（2）當(dāng)時(shí)，方程有實(shí)數(shù)根.

【解析】試題分析：（1）函數(shù)求導(dǎo)，從而得單調(diào)區(qū)間；

（2）方程有實(shí)數(shù)根，即函數(shù)存在零點(diǎn)，分類(lèi)討論函數(shù)的單調(diào)性，從而得有零點(diǎn)時(shí)參數(shù)的范圍.

試題解析：

（1）依題意，得 ，.

令，即.

解得；

令，即.

解得.

故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.

（2）由題得， .

依題意，方程有實(shí)數(shù)根，

即函數(shù)存在零點(diǎn).

又.

令，得.

當(dāng)時(shí)，.

即函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，

而， .

所以函數(shù)存在零點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)，，隨的變化情況如下表：

所以為函數(shù)的極小值，也是最小值.

當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)沒(méi)有零點(diǎn)；

當(dāng)，即時(shí)，注意到，

，

所以函數(shù)存在零點(diǎn).

綜上所述，當(dāng)時(shí)，方程有實(shí)數(shù)根.