Question

學數學，其實是要使人聰明，使人的思維更加縝密，在美國廣為流傳的一道數學題目是：老板給你兩個加工資的方案．一是每年年末加一千元；二是每半年結束時加300元．請選擇一種．一般不擅長數學的人很容易選擇前者，因為一年加一千元總比兩個半年共加600元要多．其實，由于工資累計的，時間稍長，往往第二種方案更有利．例如在第二年的年末，依第一種方案可以加得1000+2000=3000元，而第二種方案在第一年加得300+600=900元，第二年加得900+1200=2100元，總數也是900+2100=3000元．但到了第三年，第一種方案可以得到1000+2000+3000=6000元，第二種方案可以得到300+600+900+1200+1500+1800=6300元，比第一方案多了300元．第四年，第五年會更多．因此，你若會在公司干三年以上，則應選擇第二種方案．
根據以上材料，解答以下問題：
（1）如果在該公司干10年，問選擇第二方案比選擇第一方案多加薪多少元？
（2）如果第二方案中得每半年加300元改成每半年加 a元，問 a取何值時，選擇第二方案總是比選擇第一方案多加薪？

Answer 1

分析：（1）第一方案、第二方案的加薪額都是遞增的等差數列，到第10年末，第一方案加薪總額為：1000+2000+3000+…+10000；第二方案加薪總額為：300+300×2+300×3+…+300×20；在該公司干滿10年，作差比較可知，第二方案比第一方案多加薪多少；
（2）第n年（n∈N^*）選擇第二方案總比選擇第一方案加薪多，即等差數列的前n項和：2na+

2n(2n-1)

2

a＞1000n+

n(n-1)

2

×1000；整理，得a＞

500(n+1)

2n+1

，右邊=250(1+

1

2n+1

)，對于n∈N^*時恒成立，存在最大值，從而得出a的取值范圍．

解答：解：（1）由題意，第一方案每年的加薪額，第二方案每半年的加薪額都構成等差數列
第10年末，第一方案加薪總額為：1000+2000+3000+…+10000=55000元，
第二方案加薪總額為：300+300×2+300×3+…+300×20=63000元，
所以在該公司干10年，選擇第二方案比選擇第一方案多加薪：63000-55000=8000元；
（2）由題意，第n年（n∈N^*）選擇第二方案總比選擇第一方案加薪多，
則由等差數列的前n項和公式：2na+

2n(2n-1)

2

a＞1000n+

n(n-1)

2

×1000
化簡得a＞

500(n+1)

2n+1

=250(1+

1

2n+1

)，對于n∈N^*時恒成立，
又當n=1時，

1

2n+1

取最大值

1

3

，此時250(1+

1

2n+1

)取得最大值

1000

3

；所以，
當a＞

1000

3

時選擇第二方案總是比選擇第一方案多加薪．

點評：本題考查了數列與函數，以及不等式的綜合應用，也考查了靈活應用知識解決實際問題的能力．