Question

【題目】為了保障某治療新冠肺炎藥品的主要藥理成分在國家藥品監督管理局規定的值范圍內，武漢某制藥廠在該藥品的生產過程中，檢驗員在一天中按照規定從該藥品生產線上隨機抽取20件產品進行檢測，測量其主要藥理成分含量（單位：mg）.根據生產經驗，可以認為這條藥品生產線正常狀態下生產的產品的主要藥理成分含量服從正態分布N（μ，σ2）.在一天內抽取的20件產品中，如果有一件出現了主要藥理成分含量在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的藥品，就認為這條生產線在這一天的生產過程可能出現了異常情況，需對本次的生產過程進行檢查.

（1）下面是檢驗員在2月24日抽取的20件藥品的主要藥理成分含量：

10.02	9.78	10.04	9.92	10.14	10.04	9.22	10.13	9.91	9.95
10.09	9.96	9.88	10.01	9.98	9.95	10.05	10.05	9.96	10.12

經計算得xi＝9.96，s0.19；其中xi為抽取的第i件藥品的主要藥理成分含量，i＝1，2，…，20.用樣本平均數作為μ的估計值，用樣本標準差s作為σ的估計值，利用估計值判斷是否需對本次的生產過程進行檢查？

（2）假設生產狀態正常，記X表示某天抽取的20件產品中其主要藥理成分含量在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的藥品件數，求P（X＝1）及/span>X的數學期望.

附：若隨機變量Z服從正態分布N（μ，σ2），則P（μ﹣3σ＜Z＜μ+3σ）≈0.9974，0.997419≈0.95.

Answer 1

【答案】（1）需對本次的生產過程進行檢查（2）P（X＝1）≈0.0494；E（X）≈0.052

【解析】

（1）根據題目所給數據得到，由此求得，有一件藥品在這個區間外，由此判斷需對本次的生產過程進行檢查.

（2）利用二項分布概率計算公式，計算出，以及求得的數學期望.

（1）由9.96，s＝0.19.

可得：9.96，0.19，

由樣品數據看出有一樣藥品的主要藥理成分9.22含量在＝（9.39，10.53）之外的藥品，因此需對本次的生產過程進行檢查.

（2）抽取的一件藥品中其主要藥理成分含量在（μ﹣3σ，μ+3σ）之內的概率為0.9974，而主要藥理成分含量在（μ﹣3σ，μ+3σ）之內的概率為0.0026，

故X～B（20，0.0026），∴P（X＝1）0.997419×0.0026≈0.0494.

X的數學期望E（X）＝20×0.0026≈0.052.