【題目】已知函數
，其中
.
（1）討論函數
的單調性；
（2）若
，記函數的兩個極值點為
，
（其中
），求
的最大值.
【答案】（1）當
時，
在
上單調遞增；當
時，函數在
和
上單調遞增，在
上單調遞減；
（2）
.
【解析】
（1）求出導函數
，由
得增區間，由
得減區間，注意題中函數定義域是
，因此對二次三項式
分類情況為第一類：
或
，第二類
且
．
（2）與極值點有關的問題，不是直接代入極值點，而是用
表示極值點，由是方程
的解，得
，
.
.不妨設
，引入變量
，則
，
就轉化為
的函數，由
求得的范圍，由導數知識可得所求最大值．
（1）
.
令
，則
.
①當或，即時，得
恒成立，
∴在上單調遞增.
②當
，即時，
由
，得
或
；
由
，得
.
∴函數在和上單調遞增，
在上單調遞減.
綜上所述，當時，在上單調遞增；
當時，函數在和上單調遞增，
在上單調遞減.
（2）由（1）得，當時，有兩極值點
，
（其中
）.
則，為
的兩根，
∴，.
.
令
，
則
.
由，得
，
即
，解得
.
∵
，
∴
在
上單調遞減，
∴
.
即
的最大值為.
考前必練系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】A地的天氣預報顯示，A地在今后的三天中，每一天有強濃霧的概率為
，現用隨機模擬的方法估計這三天中至少有兩天有強濃霧的概率，先利用計算器產生
之間整數值的隨機數，并用0，1，2，3，4，5，6表示沒有強濃霧，用7，8，9表示有強濃霧，再以每3個隨機數作為一組，代表三天的天氣情況，產生了如下20組隨機數：
402 978 191 925 273 842 812 479 569 683
231 357 394 027 506 588 730 113 537 779
則這三天中至少有兩天有強濃霧的概率近似為
A. 
B. 
C. 
D. 
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】數學40名數學教師，按年齡從小到大編號為1,2，…40。現從中任意選取6人分成兩組分配到A,B兩所學校從事支教工作，其中三名編號較小的教師在一組，三名編號較大的教師在另一組，那么編號為8,12,28的數學教師同時入選并被分配到同一所學校的方法種數是
A. 220 B. 440 C. 255 D. 510
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某工廠在制造產品時需要用到長度為698mm的A型和長度為518mm的B型兩種鋼管，工廠利用長度為4000mm的鋼管原材料，裁剪成若干A型和B型鋼管。假設裁剪時損耗忽略不計，裁剪后所剩廢料與原材料的百分比稱為廢料率.
（1）有兩種裁剪方案的廢料率小于4.5%，請說明這兩種方案并計算它們的廢料率；
（2）工廠現有100根原材料鋼管，一根A型和一根B型鋼管為一套毛胚。按（1）中的方案裁剪，最多可裁剪多少套毛胚？最終的廢料率為多少？
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數f(x)＝|3x＋2|.
(1)解不等式f(x)<4－|x－1|；
(2)已知m＋n＝1(m，n>0)，若|x－a|－f(x)≤
(a>0)恒成立，求實數a的取值范圍.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖是某市10月1日至14日的空氣質量指數趨勢圖，空氣質量指數越小表示空氣質量越好，空氣質量指數小于100表示空氣質量優良，下列敘述中不正確的是（ ）
A.這14天中有7天空氣質量優良
B.這14天中空氣質量指數的中位數是103
C.從10月11日到10月14日，空氣質量越來越好
D.連續三天中空氣質量指數方差最大的是10月5日至10月7日
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知無窮數列
的各項都是正數，其前
項和為
，且滿足：
，
，其中
，常數
．
（1）求證：
是一個定值；
（2）若數列是一個周期數列（存在正整數
，使得對任意
，都有
成立，則稱為周期數列，為它的一個周期），求該數列的最小周期；
（3）若數列是各項均為有理數的等差數列，
（），問：數列
中的所有項是否都是數列中的項？若是，請說明理由；若不是，請舉出反例．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在直角坐標系xOy中，動點P與定點
的距離和它到定直線
的距離之比是
，設動點P的軌跡為E．
（1）求動點P的軌跡E的方程；
（2）設過F的直線交軌跡E的弦為AB，過原點的直線交軌跡E的弦為CD，若
，求證：
為定值．
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