Question

【題目】已知點P1（a1 ， b1），P2（a2 ， b2），…，Pn（an ， bn）（n∈N*）都在函數y=的圖象上．
（Ⅰ）若數列{bn}是等差數列，求證數列{an}為等比數列；
（Ⅱ）若數列{an}的前n項和為Sn=1﹣2﹣n ， 過點Pn ， Pn+1的直線與兩坐標軸所圍成三角形面積為cn ， 求使cn≤t對n∈N*恒成立的實數t的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（1）依題意可知bn=an ，
∵數列{bn}是等差數列，
∴2bn+1=bn+bn+2 ， 即2an+1=an+an+2=（anan+2）
∴a2n+1=anan+2
∴數列{an}為等比數列
（2）當n=1時，a1=，當n≥2時，an=Sn﹣Sn﹣1=（）n ， n=1也適合此式，
即數列{an}的通項公式是an=（）n ． 由bn=an ， 得
數列{bn}的通項公式是bn=n，
所以Pn（，n），Pn+1（，n+1）．
過這兩點的直線方程是：=
可得與坐標軸的交點是An（，0），Bn（0，n+2），
cn=×|OAn|×|OBn|=，
由于cn﹣cn+1=﹣＞0，即數列{cn}的各項依次單調遞減，所以t≥c1=，即存在最小的實數t=滿足條件．
【解析】（1）把點Pn（an ， bn）代入函數式，根據數列{bn}是等差數列，可求得a2n+1=anan+1進而可證明數列an}為等比數列
（2）先看當n≥2時根據an=Sn﹣Sn﹣1求得數列{an}的通項公式，進而求得當n=1時也符合，求得數列{an}的通項公式代入bn=an求得bn ， 進而求得點Pn和Pn+1的坐標進而可得過這兩點的直線方程，進而求得該直線與坐標軸的交點坐標，根據三角形的面積公式求得cn ， 進而可得cn﹣cn+1的表達式判斷其大于0，推斷出數列{cn}的各項依次單調遞減，要使cn≤t對n∈N+恒成立，需要t大于或等于數列的最大值c1 ， 進而可推斷存在最小的實數滿足條件．
【考點精析】通過靈活運用等比關系的確定和不等式的證明，掌握等比數列可以通過定義法、中項法、通項公式法、前n項和法進行判斷；不等式證明的幾種常用方法:常用方法有：比較法（作差，作商法）、綜合法、分析法；其它方法有：換元法、反證法、放縮法、構造法，函數單調性法，數學歸納法等即可以解答此題．