Question

【題目】在平面直角坐標系中，對于直線和點、，記，若，則稱點,被直線l分隔，若曲線C與直線l沒有公共點，且曲線C上存在點,被直線l分隔，則稱直線l為曲線C的一條分隔線.

（1）求證：點、被直線分隔；

（2）若直線是曲線的分隔線，求實數的取值范圍；

（3）動點M到點的距離與到y軸的距離之積為1，設點M的軌跡為E，求E的方程，并證明y軸為曲線E的分隔線.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）（3），證明見解析

【解析】

(1)根據點,被直線l分隔的定義證明即可,

(2)先由直線與曲線無交點,利用判別式小于0可得的范圍,然后在曲線上取兩個點驗證是否被直線分隔,

(3)先求出軌跡的方程,然后證明軌跡方程與軸無交點,再在軌跡上取兩個點驗證是否被軸分隔.

（1）由題意得：,

被直線分隔；

（2）由題意得：直線與曲線無交點,

,整理得無解,即

,

又對任意的，點和在曲線上，滿足，所以點和被直線分隔，

所求的k的范圍是.

（3）由題意得：設,,

化簡得點M的軌跡方程為

對任意的，點不是方程的解

直線與曲線E沒有交點,

又曲線E上的兩點和對于直線滿足,

即點和被直線分隔,

直線y軸是E的分隔線.